Mat- 001 - Cálculo 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

MAT- 001 - CÁLCULO 1 – 1a PROVA – 03/10/2009

GABARITO

1a Questão (15 pontos): Uma função [pic 1] é tal que [pic 2] e [pic 3] para todo [pic 4]. Nestas condições, calcule o valor de [pic 5].

SOLUÇÃO:

• Para [pic 6], temos [pic 7]
• Para [pic 8], temos [pic 9]
• Para [pic 10], temos [pic 11]

2a Questão (15 pontos): Seja [pic 12] a função definida por [pic 13], sendo [pic 14]. Se [pic 15], mostre que [pic 16].

SOLUÇÃO:

Como [pic 17], então [pic 18]. Assim: [pic 19].

Para [pic 20], temos: [pic 21].

Porém [pic 22] (Função Ímpar).

Portanto: [pic 23].

Finalmente: [pic 24].

3a Questão (20 pontos): Encontre o Domínio [pic 25] da função definida por [pic 26].

SOLUÇÃO:

Condições de existência: [pic 27].

Devemos resolver as inequações (A) e (B) e fazer a interseção dos resultados.

Inequação (A):

[pic 29][pic 28]

Solução: [pic 30] ou [pic 31].

Inequação (B):

[pic 32].

Portanto, para satisfazer as duas inequações ao mesmo tempo, devemos ter:

[pic 33].

4a Questão (15 pontos): Sabe-se que o gráfico da função definida por [pic 34] possui apenas uma Assíntota Oblíqua. Encontre a equação dessa  Assíntota.

SOLUÇÃO:

A equação da Assíntota Oblíqua tem a forma [pic 35], onde: [pic 36].

Assim:

[pic 37].

[pic 38].

[pic 39].

Portanto, a Assíntota Oblíqua é a reta [pic 40].

5a Questão (15 pontos): Sendo [pic 41], encontre os valores de [pic 42] e [pic 43], de modo que [pic 44] e [pic 45].

SOLUÇÃO:

Vamos primeiramente reduzir a função [pic 46] ao mesmo denominador:

[pic 47].

[pic 48].

Reduzindo os termos semelhantes:

[pic 49].

Como [pic 50], temos:

[pic 51].

Como [pic 52], temos:

[pic 53].

Portanto: [pic 54] e [pic 55].

6a Questão (20 pontos): Calcule: